Funktionenfolge nach K/Konvergenzkriterium mit Supremumsnorm/Fakt/Beweis
Beweis
Sei
.
Wegen
ist aufgrund des
Majorantenkriteriums
die
Reihe
absolut konvergent,
und das bedeutet, dass die Funktionenreihe punktweise absolut konvergiert.
Wir setzen
und
Wir wollen zeigen, dass die Funktionenfolge gleichmäßig gegen konvergiert. Dazu sei vorgegeben. Aufgrund des Cauchy-Kriteriums für Reihen gibt es ein mit
für alle . Damit haben wir für und jedes insgesamt die Abschätzung