Funktionenkörper/Differentialoperatoren/Fortsetzung/Fakt/Beweis

Beweis

Nach dem Satz vom primitiven Element liegt eine Erweiterung der Form

mit vor. Die beschreibende Gleichung führt in zur Gleichung

Dabei sind die als Kombination der auszudrücken. Der Koeffizient vor ist wegen der Separabilität nicht und somit kann man als -Linearkombination der ausdrücken. Insbsondere ist

Es folgt, dass die partiellen Ableitungen eine eindeutige Fortsetzung haben, und zwar wird jedes auf die Koeffizientenfunktion zu bezüglich abgebildet.

Eine Hintereinanderschaltung wird dann durch die Hintereinanderschaltung der einzelnen Fortsetzungungen fortgesetzt. Die Fortsetzbarkeit gilt dann auch für Multiplikationen mit Elementen und für Summen.