Funktionenkörper/Fermat-Kubik/Fortsetzung von Operatoren/Beispiel

Wir betrachten die Körpererweiterung

über einem Körper der Charakteristik . Im Modul der Kähler-Differentiale gilt

Daher ist

was explizit einen -Isomorphismus

ergibt. Für den -Modul der -Derivationen ergibt sich entsprechend

Dabei ist

da ja generell ein Element auf den Koeffizienten zu von abbildet. Beispielsweise ist somit

oder

Wegen

kann man dies auch schon in ausrechnen.

Entsprechend kann man die Wirkungsweise von Differentialoperatoren höherer Ordnung bestimmen. Diese sind ja die Summe von Hintereinanderschaltungen von Derivationen und Multiplikationen. Es ist

Betrachten wir den Differentialoperator

Es ist beispielsweise