Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine im Punkt ${}P\in G$ reell total differenzierbare Abbildung. Es sei ${}f=g+{\mathrm {i} }h$ mit reellwertigen Funktionen ${}g,h\colon G\rightarrow \mathbb {R}$. Sei ${}z=x+{\mathrm {i} }y$. Dann ist ${}f$ genau dann in ${}P$ komplex differenzierbar, wenn für die reellen partiellen Ableitungen die Beziehungen

   ${\frac {\partial g}{\partial y}}(P)=-{\frac {\partial h}{\partial x}}(P){\text{ und }}{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)={\frac {\partial g}{\partial x}}(P)$

   gelten.
2. Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit der Eigenschaft: Es gebe einen Punkt ${}a\in G$ mit

   ${}\vert {f(z)}\vert \leq \vert {f(a)}\vert \,$

   für alle ${}z\in G$.

   Dann ist ${}f$ konstant.
3. Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte holomorphe Funktion und seien

   $\alpha ,\beta \colon [a,b]\longrightarrow U$

   stetige Wege mit ${}\alpha (a)=\beta (a)$ und ${}\alpha (b)=\beta (b)$, die zueinander homotop seien.

   Dann ist

   ${}\int _{\alpha }f(z)dz=\int _{\beta }f(z)dz\,.$

Zur gelösten Aufgabe