Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

1. Für alle komplexen Zahlen ${}z$ mit ${}{|z|}<1$ konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}$ absolut und es gilt

   ${}\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}={\frac {1}{1-z}}\,.$

2. Es sei

   ${}U=U{\left(P,r\right)}\subseteq {\mathbb {C} }\,$

   ein offener Ball und sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion.

   Dann besitzt ${}f$ eine Stammfunktion

   auf ${}U$.
3. Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, ${}a\in U$ ein Punkt und

   $f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

   1. ${}f$ besitzt in ${}a$ eine wesentliche Singularität.
   2. Für jede offene Kreisscheibenumgebung ${}U{\left(a,r\right)}$ ist das Bild ${}f{\left(U{\left(a,r\right)}\setminus \{a\}\right)}$ dicht in ${}{\mathbb {C} }$.

Zur gelösten Aufgabe