Funktionsschar/R/Polynomiale Funktion/Bemerkung

Gelegentlich betrachtet man funktionale Ausdrücke für Funktionen in einer Variablen ${}x$, in denen noch weitere unbestimmte Parameter vorkommen, von denen letztlich die zu untersuchende Funktion abhängt. Typische Beispiele ist die Menge aller linearen Funktionen ${}ax+b$, wo ${}x$ die eigentliche Funktionsvariable der linearen Funktion bezeichnet und ${}a,b$ Parameter sind, die die Steigung bzw. den Wert der linearen Funktion an der Stelle ${}0$ repräsentieren, oder die Menge der Parabeln ${}ax^{2}$, wo ${}x$ die Funktionsvariable bezeichnet und ${}a$ ein Parameter ist, der die Enge oder die Weite der Parabel bestimmt, oder die Menge der Parabeln ${}x^{2}+px+q$, wo der Parameter ${}p$ den linearen Term und der Parameter ${}q$ den konstanten Term bezeichnet. Man spricht in solchen Situationen von einer Funktionenschar oder von einer Kurvenschar. Mit diesem Konzept kann man ähnlich gebaute Funktionen simultan studieren. Man interessiert sich für die Bedeutung der Parameter, wie sich diese auf den Funktionsverlauf auswirken, wie man beispielsweise aus den Parametern ${}p$ und ${}q$ die Nullstellen bestimmen kann, etc.

In einer solchen Situation kann man einen Schritt weiter gehen und die Parameter als zusätzliche prinzipiell gleichberechtigte Variablen neben ${}x$ ansehen. In dieser Weise entstehen (zumeist polynomiale) Funktionen in zwei oder in drei Variablen, die man mit Methoden der höherdimensionalen Analysis studieren kann. Beispielsweise kann man so Aussagen wie, dass eine kleine Änderung der Parameter den Funktionsverlauf nicht wesentlich ändert, präzisieren und überprüfen. Wenn man den Graphen der Gesamtfunktion in zwei Variablen skizziert (also eine „Gebirgsfläche“ im ${}\mathbb {R} ^{3}$), so erhält man die Graphen der Funktionen in der Schar zurück, indem man mit den Ebenen schneidet, die durch die Festlegung des Parameters gegeben sind.