G-adische Zahl/Rational und periodisch/Aufgabe

Es sei ${}g\in \mathbb {N}$ , ${}g\geq 2$. Es sei eine Ziffernfolge

$z_{i}\in \{0,1,\ldots ,g-1\}{\text{ für }}i\in \mathbb {Z} ,\,i\leq k,$

(wobei ${}k\in \mathbb {N}$ ist) gegeben und es sei

$r=\sum _{i=k}^{-\infty }z_{i}g^{i}$

die durch diese Ziffernfolge definierte reelle Zahl. Zeige, dass die Ziffernfolge genau dann ab einer gewissen Stelle periodisch ist, wenn ${}r$ eine rationale Zahl ist.

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