Galoiserweiterung/Normalbasis/Zugehöriges Polynom/Eigenschaften/Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$. Es sei ${}z\in L$ ein Element derart, dass ${}\varphi (z)$, ${}\varphi \in G$, eine ${}K$-Basis von ${}L$ bildet. Wir betrachten das Polynom

$F=\prod _{\varphi \in G}(X-\varphi (z)).$

Zeige, dass die Koeffizienten von ${}F$ zu ${}K$ gehören, dass ${}F$ in ${}K[X]$ irreduzibel ist und dass ${}L$ der Zerfällungskörper

von ${}F$ über ${}K$ ist.

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