Galoisgruppe/Primzahlgrad/Nullstellenbedingung/Permutationsgruppe/Fakt

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}F\in \mathbb {Q} [X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad ${}p$, das genau ${}p-2$ reelle Nullstellen besitzt.

Dann ist die Galoisgruppe des Zerfällungskörpers ${}\mathbb {Q} \subseteq Z(F)$ gleich der Permutationsgruppe ${}S_{p}$.

Bei ${}p\geq 5$ ist diese Körpererweiterung nicht auflösbar.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen