Ganze Erweiterung/Normale Basis/Going down/Fakt

Es sei ${}R\subseteq S$ eine ganze Erweiterung von Integritätsbereichen mit ${}R$ normal.

Dann gibt es zu Primidealen

${}{\mathfrak {p}}_{1}\subset {\mathfrak {p}}_{2}\,$

in ${}R$ und einem Primideal ${}{\mathfrak {q}}_{2}$ in ${}S$ mit

{}{\mathfrak {q}}_{2}\cap R={\mathfrak {p}}_{2}\,

ein Primideal ${}{\mathfrak {q}}_{1}$ mit

{}{\mathfrak {q}}_{1}\subset {\mathfrak {q}}_{2}\,

und

{}{\mathfrak {q}}_{1}\cap R={\mathfrak {p}}_{1}\,.