Ganze Zahlen/Definiere Wohlordnung/Aufgabe/Kommentar

Der Wohlordnungssatz besagt, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann. Es ist aber im Allgemeinen schwierig, eine Wohlordnung zu konstruieren: bis heute ist keine explizite Wohlordnung auf den reellen Zahlen bekannt. Für "kleine" Mengen wie ${}\mathbb {Z}$ ist jedoch die Konstruktion einer expliziten Wohlordnung möglich. Der Grund ist, dass ${}\mathbb {Z}$ und ${}\mathbb {N}$ die gleiche Mächtigkeit haben und dass ${}\mathbb {N}$ bekanntermaßen wohlgeordnet ist (siehe Fakt). Um eine Wohlordnung auf ${}\mathbb {Z}$ zu definieren, reicht es also aus, eine Nummerierung von ${}\mathbb {Z}$ (d.h. eine Bijektion ${}\varphi :\mathbb {N} \to \mathbb {Z}$) zu konstruieren. Eine solche Nummerierung ist

$0,-1,1,-2,2,-3,3,\dots$

und die entsprechende Wohlordnung auf ${}\mathbb {Z}$ definiert man so: ${}a\prec b$ falls ${}{|}a{|}<{|}b{|}$ oder ${}{|}a{|}={|}b{|}$ und ${}a<0<b$.

Zur kommentierten Aufgabe