Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei
und seien
und
,
also
und
.
Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}a'+d'+(c'+d+a+b')&=a+d+a'+c'+d'+b'\\&\geq b+c+a'+c'+d'+b'\\&=b'+c'+(c+d'+a'+b).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d719fcf8b6b70a1c250227d6e8389a010915deb)
Da die Ausdrücke in den Klammern nach Voraussetzung übereinstimmen, folgt
nach der Abziehregel
für die Ordnung auf
auch
-
![{\displaystyle {}a'+d'\geq b'+c'\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d15e3386a207558ea90d490dac931840f4a7cb21)
also die Wohldefiniertheit. Dass die Ordnung total ist, folgt unmittelbar aus der Definition und der entsprechenden Eigenschaft der Ordnung von
. Die Reflexivität ist unmittelbar klar, die Antisymmetrie folgt direkt aus der Definition der Gleichheit auf
. Zum Nachweis der Transitivität sei
-
![{\displaystyle {}[(a,b)]\geq [(c,d)]\geq [(e,f)]\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1755970d9cb2ef21c8062de224debbe33931f1fe)
also
und
.
Durch Addition mit
bzw. mit
erhält man
-
![{\displaystyle {}a+d+f\geq b+c+f\geq b+d+e\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8145e4d2e5ebd75c313d15167635ddc557c0c17f)
woraus
folgt, also
.