Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Äquivalenzrelation/Anordnung/Fakt/Beweis

Beweis

Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei ${}a+d\geq b+c$ und seien ${}(a,b)\sim (a',b')$ und ${}(c,d)\sim (c',d')$, also ${}a+b'=a'+b$ und ${}c+d'=c'+d$. Es ist

${}{\begin{aligned}a'+d'+(c'+d+a+b')&=a+d+a'+c'+d'+b'\\&\geq b+c+a'+c'+d'+b'\\&=b'+c'+(c+d'+a'+b).\end{aligned}}$

Da die Ausdrücke in den Klammern nach Voraussetzung übereinstimmen, folgt nach der Abziehregel für die Ordnung auf ${}\mathbb {N}$ auch

${}a'+d'\geq b'+c'\,,$

also die Wohldefiniertheit. Dass die Ordnung total ist, folgt unmittelbar aus der Definition und der entsprechenden Eigenschaft der Ordnung von ${}\mathbb {N}$. Die Reflexivität ist unmittelbar klar, die Antisymmetrie folgt direkt aus der Definition der Gleichheit auf ${}\mathbb {Z}$. Zum Nachweis der Transitivität sei

${}[(a,b)]\geq [(c,d)]\geq [(e,f)]\,,$

also ${}a+d\geq b+c$ und ${}c+f\geq d+e$. Durch Addition mit ${}f$ bzw. mit ${}b$ erhält man

${}a+d+f\geq b+c+f\geq b+d+e\,,$

woraus ${}a+f\geq b+e$ folgt, also ${}[(a,b)]\geq [(e,f)]$.

Zur bewiesenen Aussage