Nach
Fakt
ist
ein kommutativer Ring und nach
Fakt
ist
eine totale Ordnung. Wir müssen also lediglich noch die Verträglichkeit der Ordnung mit der Addition und der Multiplikation überprüfen. Sei
-
![{\displaystyle {}[(a,b)]\geq [(c,d)]\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2391d3d11caaf252146ce25295282921cd03a980)
also
,
und
beliebig. Dann ist auch
-

also
-
![{\displaystyle {}[(a,b)]+[(e,f)]=[(a+e,b+f)]\geq [(c+e,d+f)]=[(c,d)]+[(e,f)]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb89e90d55c6ffb32049a8b7957801613ade863)
Wenn
und
ist, so ist
und
.
Mit
Aufgabe
ergibt sich
-

was
-
![{\displaystyle {}[(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)]\geq 0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e24997a1efecaea2c8d611c80994c486c8d0a8df)
bedeutet.