Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Äquivalenzrelation/Kommutativer angeordneter Ring/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt ist ${}\mathbb {Z}$ ein kommutativer Ring und nach Fakt ist ${}\geq$ eine totale Ordnung. Wir müssen also lediglich noch die Verträglichkeit der Ordnung mit der Addition und der Multiplikation überprüfen. Sei

${}[(a,b)]\geq [(c,d)]\,,$

also ${}a+d\geq b+c$, und ${}[(e,f)]$ beliebig. Dann ist auch

${}a+d+e+f\geq b+c+e+f\,,$

also

${}[(a,b)]+[(e,f)]=[(a+e,b+f)]\geq [(c+e,d+f)]=[(c,d)]+[(e,f)]\,.$

Wenn ${}[(a,b)]\geq 0$ und ${}[(c,d)]\geq 0$ ist, so ist ${}a\geq b$ und ${}c\geq d$. Mit Aufgabe ergibt sich

${}ac+bd\geq ad+bc\,,$

was

${}[(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)]\geq 0\,$

bedeutet.

Zur bewiesenen Aussage