Ganze Zahlen/Nach Z mod p/Nur multiplikativ/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(3),$

die ${}0$ auf ${}0$ abbildet und die alle positiven Zahlen auf ${}1$ und die alle negativen Zahlen auf ${}2$ abbildet. Wenn ${}0$ mit einer Zahl multipliziert wird, so kommt stets ${}0$ raus, und dies gilt auch in ${}\mathbb {Z} /(3)$. Das Vorzeichen verhält sich bei der Multiplikation genau so wie die Verknüpfung in der Gruppe mit zwei Elementen, und die Einheitengruppe von ${}\mathbb {Z} /(3)$ besitzt zwei Elemente. Da die positiven Elemente auf ${}1$ gehen, wird die Multiplikation respektiert, und insgesamt liegt ein surjektiver Monoidhomomorphismus vor. Die Elemente ${}1$ und ${}2=1+1$ werden beide auf ${}1$ abgebildet, die Summe der ${}1$ ist aber in ${}\mathbb {Z} /(3)$ gleich ${}2\neq 1$,

also ist dies kein Ringhomomorphismus.

Zur gelösten Aufgabe