Ganze Zahlen/Nachfolger/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Das folgt unmittelbar aus der Definition.
2. Surjektiv: Für die positiven Zahlen ergibt sich das aus der Eigenschaft der Nachfolgerabbildung auf ${}\mathbb {N}$. Die ${}0$ ist Nachfolger der ${}-1$. Es sei eine negative Zahl

   ${}z=-b\,$

   mit ${}b\in \mathbb {N} _{+}$ gegeben. Diese positive Zahl ${}b$ besitzt in ${}\mathbb {N}$ einen eindeutig bestimmten Nachfolger ${}c$, also

   ${}N(b)=c\,$

   und ${}V(c)=b$ Dann ist nach Definition

   ${}N(-c)=-V(c)=-b=z\,$

   und ${}z$ ist ein Vorgänger. Injektiv: Es seien ${}x,y\in \mathbb {Z}$ mit ${}N(x)=N(y)$. Bei ${}x,y\in \mathbb {N}$ folgt ${}x=y$ direkt aus der Injektivität der Nachfolgerabbildung auf ${}\mathbb {N}$. Wenn beide Zahlen negativ sind, so ist der Nachfolger auch negativ mit der einzigen Ausnahme ${}N(-1)=0$.

3. Es ist ${}N(-a)=-V(a)$ und ${}V(-b)=-N(b)$ für ${}a,b\in \mathbb {N} _{+}$.
4. Dies ist für die natürlichen Zahlen mit der Nachfolgerabbildung klar. Für die negativen Zahlen Wenn ${}a=N^{k}(0)$ ist, so kann man drauf beidseitig ${}k$-fach die Vorgängerabbildung anwenden und erhält

   ${}V^{k}(a)=V^{k}(N^{k}(0))=0\,.$

   ${}-a=V^{k}(0)\,$

Zur bewiesenen Aussage