Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Ordnung/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Dies folgt unmittelbar aus der Definition.
2. Wenn ${}a\in \mathbb {N}$ ist, so folgt ${}a\geq 0$ unmittelbar aus der Definition. Wenn hingegen ${}a$ negativ ist, so ist nach dem zweiten Teil der Definition ${}0\geq a$ und Gleichheit ist wegen negativ ausgeschlossen.
3. Dies folgt direkt aus Teil (2) und der Definition der Negation.
4. Wegen (3) und da eine totale Ordnung vorliegt, müssen wir nur die Richtung von links nach rechts zeigen. Es sei also ${}a\geq b$. Bei ${}b\geq 0$ ist die Aussage klar, da dann die Differenz innerhalb der natürlichen Zahlen bleibt. Bei positivem ${}a$ und negativem ${}b$ ist die Aussage auch klar, seien also beide Zahlen negativ. Dann ist nach Definition ${}-b\geq -a$ (in ${}\mathbb {N}$) und das schon Bewiesene zeigt

   ${}-b-(-a)=-b+a\geq 0\,.$

5. Folgt aus (4), da

   ${}a+c-(b+c)=a-b\,$

   ist.

6. Folgt aus (4) und Fakt  (5).
7. Folgt aus (4) und (3).

Zur bewiesenen Aussage