Die Addition auf
erfüllt die folgenden Eigenschaften.
- Es ist
-

für beliebige
(alle)
Zahlen
,
d.h. die Addition ist assoziativ.
- Es ist
-

für beliebige Zahlen
,
d.h. die Addition ist kommutativ.
- Es gilt
-

für jedes
(man sagt, dass
das neutrale Element
der Addition ist).
- Zu jedem
besitzt
die Eigenschaft
-

(man sagt, dass
das negative Element
zu
ist).
Die Multiplikation auf
erfüllt die folgenden Eigenschaften.
- Es ist
-

für beliebige
(alle)
Zahlen
,
d.h. die Multiplikation ist assoziativ.
- Es ist
-

für beliebige Zahlen
,
d.h. die Multiplikation ist kommutativ.
- Es gilt
-

für jedes
(man sagt, dass
das neutrale Element
der Multiplikation ist).
Man spricht auch vom Assoziativgesetz der Addition u.s.w.. Addition und Multiplikation sind durch das sogenannte Distributivgesetz miteinander verbunden. Dieses besagt
-

für alle
.
Wir erinnern an einige weitere Begriffe. Man sagt, dass eine ganze Zahl
eine ganze Zahl
teilt
(oder dass
ein Teiler von
ist oder dass
ein Vielfaches von
ist),
wenn es eine weitere ganze Zahl
mit
gibt. Beispielsweise ist
ein Teiler von
, aber
ist kein Teiler von
. Eine gerade Zahl ist eine ganze Zahl, die ein Vielfaches von
ist, eine ungerade Zahl ist eine ganze Zahl, die kein Vielfaches von
ist. Wenn
ein Teiler von
ist,
so verwenden wir die Bezeichnung
für diejenige
(eindeutig bestimmte)
ganze Zahl
, für die die Gleichheit
gilt.
Auf den ganzen Zahlen ist auch die Größer/Gleich-Beziehung
(oder Ordnungsbeziehung)
definiert. Man schreibt
,
wenn
mindestens so groß wie
ist. Eine ganze Zahl
ist genau dann eine natürliche Zahl, wenn
ist. Die Beziehung
gilt genau dann, wenn es eine natürliche Zahl
mit
gibt. Für die Ordnungsbeziehung gelten die folgenden Regeln, und zwar für beliebige ganze Zahlen
:
- Es ist
(dies nennt man die Reflexivität der Ordnung).
- Aus
und
folgt
(dies nennt man die Transitivität der Ordnung).
- Aus
und
folgt
(dies nennt man die Antisymmetrie der Ordnung).
- Aus
folgt
(dies nennt man die Additivität der Ordnung).
- Aus
und
folgt
(dies nennt man die Multiplikativität der Ordnung).
- Aus
und
(also
negativ)
folgt
.
Bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl dreht sich also die Ordnungsbeziehung um.