Ganze Zahlen/p-Exponent/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu einer ganzen Zahl ${}n\neq 0$ und einer Primzahl ${}p$ nennt man den Exponenten, mit dem ${}p$ in der Primfaktorzerlegung von ${}n$ vorkommt, den ${}p$-Exponenten von ${}n$. Er wird mit ${}\nu _{p}(n)$ bezeichnet.

Statt Exponent spricht man auch von der Vielfachheit oder der Ordnung von ${}p$ in ${}n$. Wenn ${}p$ in der Primfaktorzerlegung nicht vorkommt, so ist

${}\nu _{p}(n)=0\,.$

Die Primfaktorzerlegung einer ganzen Zahl ${}n\neq 0$ kann man damit abstrakt und kompakt als

${}n=\pm \prod _{p}p^{\nu _{p}(n)}\,$

schreiben. Da in jeder Primfaktorzerlegung nur endlich viele Primzahlen wirklich vorkommen, ist dies ein endliches Produkt.

Zu ${}n=14000$ ist die Primfaktorzerlegung gleich

${}14000=2^{4}\cdot 5^{3}\cdot 7\,$

und somit gilt

${}\nu _{2}(14000)=4\,,$

${}\nu _{5}(14000)=3\,,$

${}\nu _{7}(14000)=1\,$

und

${}\nu _{p}(14000)=0\,$

für alle weiteren Primzahlen ${}p$.

Lemma

Es sei ${}p$ eine Primzahl und

$\nu _{p}\colon \mathbb {Z} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,n\longmapsto \nu _{p}(n),$

der zugehörige ${}p$-Exponent. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Zahl ${}p^{\nu _{p}(n)}$ ist die größte Potenz von ${}p$, die ${}n$ teilt.
2. Es ist

   ${}\nu _{p}(m\cdot n)=\nu _{p}(m)+\nu _{p}(n)\,.$

3. Es ist

   ${}\nu _{p}(m+n)=\operatorname {min} (\nu _{p}(m),\nu _{p}(n))\,$

   (es sei ${}m+n\neq 0$ vorausgesetzt).

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Korollar

Es seien ${}n$ und ${}k$ positive natürliche Zahlen. Dann wird ${}n$ von ${}k$ genau dann geteilt,

wenn für jede Primzahl ${}p$ die Beziehung

${}{\exp _{p}(n)}\geq {\exp _{p}(k)}\,$

gilt.

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$. Aus der Beziehung ${}n=kt$ folgt in Verbindung mit der eindeutigen Primfaktorzerlegung, dass die Primfaktoren von ${}k$ mit mindestens ihrer Vielfachheit auch in ${}n$ vorkommen müssen.
${}(2)\Rightarrow (1)$. Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist ${}t=\prod _{p}p^{{\exp _{p}(n)}-{\exp _{p}(k)}}$ eine natürliche Zahl mit ${}n=kt$.

$\Box$

Aus diesem Kriterium ergibt sich, dass man zu einer gegebenen Zahl, deren Primfaktorzerlegung vorliegt, einfach alle Teiler angeben kann. Bei

${}n=p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\,$

sind die (positiven) Teiler genau die Zahlen

$p_{1}^{s_{1}}p_{2}^{s_{2}}\cdots p_{2}^{s_{k}}{\text{ mit }}0\leq s_{1}\leq r_{1},\,0\leq s_{2}\leq r_{2},\ldots ,0\leq s_{k}\leq r_{k}.$

Davon gibt es ${}(r_{1}+1)(r_{2}+1)\cdots (r_{k}+1)$ Stück.

Korollar

Es seien ${}n$ und ${}m$ positive natürliche Zahlen mit den Primfaktorzerlegungen ${}n=\prod _{p}p^{\exp _{p}(n)}$ und ${}m=\prod _{p}p^{\exp _{p}(m)}$.

Dann ist

${}\operatorname {kgV} (n,m)=\prod _{p}p^{\max {\left({\exp _{p}(n)},{\exp _{p}(m)}\right)}}\,$

und

${}\operatorname {ggT} (n,m)=\prod _{p}p^{\min {\left({\exp _{p}(n)},{\exp _{p}(m)}\right)}}\,.$

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.

$\Box$

Für die beiden Zahlen ${}m=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 11$ und ${}m=2^{2}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 11$ ist beispielsweise der größte gemeinsame Teiler gleich ${}2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 11$ und das kleinste gemeinsame Vielfache gleich ${}2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7^{2}\cdot 11$.