Ganzer Ringhomomorphismus/Going up/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die injektive Abbildung

$R/{\mathfrak {q}}_{0}\longrightarrow S/{\mathfrak {p}}_{0},$

die nach wie vor ganz ist. Wir können also annehmen, dass eine ganze Erweiterung ${}R\subseteq S$ von Integritätsbereichen vorliegt und müssen ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$ finden, das auf ein vorgegebenes Primideal ${}{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ runterschneidet. Wir lokalisieren ${}R$ an ${}{\mathfrak {q}}$ und ${}S$ an ${}R\setminus {\mathfrak {q}}\subseteq S$, wobei die induzierte Abbildung

$R_{\mathfrak {q}}\longrightarrow S_{R\setminus {\mathfrak {q}}}$

nach wie vor ganz ist. Wir können also annehmen, dass ${}R$ ein lokaler Integritätsbereich ist und ${}R\subseteq S$ eine ganze Erweiterung. Wir suchen ein Primideal aus ${}S$, das auf das maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ herunterschneidet.  Nehmen wir an, dass die Faser über ${}{\mathfrak {m}}$ leer ist. Dann ist nach Fakt das Erweiterungsideal ${}{\mathfrak {m}}S$ gleich dem Einheitsideal. Dann gibt es Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathfrak {m}}$ und ${}s_{1},\ldots ,s_{n}\in S$ mit ${}s_{1}f_{1}+\cdots +s_{n}f_{n}=1$. Diese Gleichung gilt auch im Unterring ${}T=R[s_{1},\ldots ,s_{n}]\subseteq S$. Die Erweiterung ${}R\subseteq T$ ist endlich erzeugt und ganz, also nach Fakt sogar endlich. Es ist ${}{\mathfrak {m}}T=T$ und damit ${}T/{\mathfrak {m}}T=0$. Aus dem Lemma von Nakayama folgt daraus ${}T=0$, ein Widerspruch.

Zur bewiesenen Aussage