Ganzer Ringhomomorphismus/Spektrumsabbildung abgeschlossen/Surjektiv/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen für eine beliebige abgeschlossene Teilmenge ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$ mit einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq S$, dass das Bild

${}\varphi ^{*}(V({\mathfrak {a}}))=V(\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}}))\,$

ist, also insbesondere wieder abgeschlossen ist. Dafür betrachten wir den induzierten Ringhomomorphismus

$R/\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}})\longrightarrow S/{\mathfrak {a}},$

der ebenfalls ganz und zusätzlich injektiv ist. Daher ist

$V({\mathfrak {a}})\cong \operatorname {Spek} {\left(S/{\mathfrak {a}}\right)}\longrightarrow V(\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}}))\cong \operatorname {Spek} {\left(R/\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}})\right)}$

nach Fakt surjektiv. Also ist ${}\varphi ^{*}(V({\mathfrak {a}}))=V(\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}}))$. Der Zusatz folgt ebenfalls aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage