Ganzzahlige Exponentialfunktion/Archimedisch/Grenzverhalten/Fakt

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und ${}b\in K_{+}$ ein positives Element ${}\neq 1$ und

$\varphi _{b}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto b^{n},$

die zugehörige (ganzzahlige) Exponentialfunktion zur Basis ${}b$. Es seien ${}M\in K$ und ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, vorgegebene Zahlen.

Dann gibt es eine ganze Zahl ${}n\in \mathbb {Z}$ mit

${}\varphi _{b}(n)\geq M\,$

und eine ganze Zahl ${}m\in \mathbb {Z}$ mit

${}\varphi _{b}(m)\leq \epsilon \,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen