Garbe von Gruppen/Untergarbe/Quotientengarbe/Explizite Beschreibung/Fakt/Beweis

Beweis

1. Der Garbenhomomorphismus ${}{\mathcal {G}}\rightarrow {\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}$ ist surjektiv und daher gibt es zu einem Schnitt ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}\right)}$ lokal Urbilder in ${}{\mathcal {G}}$. D.h. es gibt eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Elemente ${}g_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {G}}\right)}$, die auf ${}s{|}_{U_{i}}$ abbilden. Somit bildet

   ${}g_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}-g_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {G}}\right)}\,$

   auf ${}0$ ab und daher gehört diese Differenz zum Kern, also zu ${}{\mathcal {F}}$. Wenn umgekehrt eine solche Familie gegeben ist, so definiert dies über die Vergarbungsabbildung Restklassen

   ${}[g_{i}]\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}\right)}\,.$

   Dabei ist

   ${}[g_{i}]{|}_{U_{i}\cap U_{j}}-[g_{j}]{|}_{U_{i}\cap U_{j}}=[g_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}-g_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}]=0\,$

   und somit sind diese Klassen verträglich und definieren einen globalen Schnitt der Quotientengarbe.

2. Es seien die Familien ${}(U_{i},g_{i})$ und ${}(U_{i},h_{i})$ gegeben. Durch Übergang zu den Differenzen können wir annehmen, dass ${}h_{i}=0$ ist. Es ist dann zu zeigen, dass ${}(U_{i},g_{i})$ genau dann das Nullelement in der Quotientengarbe definiert, wenn alle ${}g_{i}$ zu ${}\Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {F}}\right)}$ gehören. Wenn die ${}g_{i}$ überall das Nullelement definieren, so gilt dies auch in den Halmen und somit gilt, dass ${}g_{i}\in {\mathcal {F}}_{P}$ in jedem Punkt ${}P\in U_{i}$ gilt. Damit ist ${}g_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {F}}\right)}$. Die Rückrichtung ist klar.
3. Die Gleichheit von Schnitten einer Garbe kann man lokal auf einer beliebigen offenen Überdeckung testen. Daher folgt dies aus (2) und daraus, dass man die Zugehörigkeit zu einer Untergarbe ebenfalls lokal testen kann.

Zur bewiesenen Aussage