Garben/Homomorphismus/Isomorphismus/Lokaler Test/Fakt/Beweis

Beweis

Die Hinrichtung ist trivial. Für die Rückrichtung ist zu zeigen, dass

${\mathcal {F}}{\left(U\right)}\longrightarrow {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$

für jede offene Teilmenge ${}U\subseteq X$ bijektiv ist. Ohne Einschränkung sei ${}U=X$. Die Injektivität ergibt sich aus Fakt. Zum Nachweis der Surjektivität sei nun ${}t\in {\mathcal {G}}{\left(X\right)}$ vorgegeben. Zu jedem Punkt ${}P\in X$ gibt es ein eindeutiges

${}s_{P}\in {\mathcal {F}}_{P}\,$

mit

${}\varphi _{P}(s_{P})=t_{P}\,.$

Jedes ${}s_{P}$ wird repräsentiert durch ein

${}r_{P}\in {\mathcal {F}}{\left(U_{P}\right)}\,,$

wobei ${}U_{P}$ eine offene Umgebung von ${}P$ bezeichnet. Dabei hat ${}\varphi (r_{P})$ die Eigenschaft, dass es im Halm ${}{\mathcal {G}}_{P}$ mit ${}t_{P}$ übereinstimmt. Daher gibt es eine eventuell kleinere offene Umgebung ${}P\in V_{P}\subseteq U_{P}$, auf der ${}\varphi {\left(r_{P}\right)}{|}_{V_{P}}=t{|}_{V_{P}}$ gilt. Wir ersetzen ${}U_{P}$ durch ${}V_{P}$ und haben eine offene Überdeckung

${}X=\bigcup _{P\in X}V_{P}\,$

und Schnitte

${}r_{P}\in {\mathcal {F}}{\left(V_{P}\right)}\,,$

die jeweils auf ${}t{|}_{V_{P}}$ abbilden. Wir betrachten zwei Schnitte ${}r_{P}$ und ${}r_{Q}$ auf dem Durchschnitt ${}V_{P}\cap V_{Q}$. Für einen Punkt

${}Z\in V_{P}\cap V_{Q}\,$

ist ${}(r_{P})_{Z}=(r_{Q})_{Z}$, da beide unter der bijektiven Abbildung ${}\varphi _{Z}$ auf ${}t_{Z}$ abgebildet werden. Nach Fakt folgt

${}r_{P}{|}_{V_{P}\cap V_{Q}}=r_{Q}{|}_{V_{P}\cap V_{Q}}\,.$

Somit gibt es aufgrund der zweiten Garbeneigenschaft ein globales Element ${}r\in {\mathcal {F}}{\left(X\right)}$ mit

${}r{|}_{V_{P}}=r_{P}\,$

für alle ${}P$. Wegen der ersten Garbeneigenschaft ist ${}\varphi (r)=t$, da dies auf den ${}V_{P}$ gilt.

Zur bewiesenen Aussage