Es sei x − ⌊ x ⌋ = y − ⌊ y ⌋ {\displaystyle {}x-\left\lfloor x\right\rfloor =y-\left\lfloor y\right\rfloor } . Da ⌊ x ⌋ , ⌊ y ⌋ {\displaystyle {}\left\lfloor x\right\rfloor ,\left\lfloor y\right\rfloor } ganze Zahlen sind, ist n = ⌊ y ⌋ − ⌊ x ⌋ {\displaystyle {}n=\left\lfloor y\right\rfloor -\left\lfloor x\right\rfloor } ganzzahlig. Damit gilt
Es sei nun y = x + n {\displaystyle {}y=x+n} mit n ∈ Z {\displaystyle {}n\in \mathbb {Z} } . Aus der definierenden Beziehung
folgt
daher muss
sein. Somit ist