Gaußsche Vorzeichen/11/3/Beispiel

In ${}\mathbb {Z} /(11)$ ist ${}S_{+}=\{1,2,3,4,5\}$ und ${}S_{-}=\{-1,-2,-3,-4,-5\}$. Für ${}k=3$ muss man, um die Gaußschen Vorzeichen zu bestimmen, die ersten fünf Vielfachen berechnen und schauen, ob sie zur negativen oder zur positiven Hälfte gehören. Es ist

$3\in S_{+},\,6=-5\in S_{-},\,9=-2\in S_{-},\,12=1\in S_{+},\,15=4\in S_{+},$

die Vorzeichen sind also der Reihe nach

$1,-1,-1,1,1.$

Ihr Produkt ist ${}1$, und mit dem Gaußschen Vorzeichenlemma folgt, dass ${}3$ ein Quadratrest ist. In der Tat ist ${}3=5^{2}\mod 11$.