Gaußsche Zahlen/Primelement/Charakterisierungen/Fakt mit Beweisklappe

Satz (Charakterisierung von Primelementen)

Es sei ${}p$ ein ungerade Primzahl. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}p$ ist die Summe von zwei Quadraten, ${}p=x^{2}+y^{2}$ mit ${}x,y\in \mathbb {Z}$.
2. ${}p$ ist die Norm eines Elementes aus ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.
3. ${}p$ ist zerlegbar (nicht prim) in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$.
4. ${}-1$ ist ein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(p)$.
5. Es ist ${}p=1\mod 4$.

Beweis

(1) ${}\Leftrightarrow$ (2). Dies folgt sofort aus ${}x^{2}+y^{2}=(x+y{\mathrm {i} })(x-y{\mathrm {i} })=N(x+y{\mathrm {i} })$ (diese Äquivalenz gilt für alle ganzen Zahlen).

(2) ${}\Rightarrow$ (3). Die Normdarstellung

${}p=N(x+y{\mathrm {i} })=(x+y{\mathrm {i} })(x-y{\mathrm {i} })\,$

ist eine Faktorzerlegung in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$. Da ${}x$ und ${}y$ beide von ${}0$ verschieden sind, ist ${}N(x+y{\mathrm {i} })\geq 2$ und ${}x+y{\mathrm {i} }$ ist keine Einheit, also ist die Zerlegung nicht trivial. Da der Ring der Gaußschen Zahlen nach Fakt euklidisch ist, sind nach Fakt prim und unzerlegbar äquivalent.

(3) ${}\Rightarrow$ (2). Es sei ${}p$ zerlegbar, sagen wir ${}p=wz$ mit Nichteinheiten ${}w,z\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$. Dann ist innerhalb der natürlichen Zahlen ${}p^{2}=N(p)=N(w)N(z)$. Dann muss ${}N(w)=p$ sein.

(3) ${}\Leftrightarrow$ (4). Es gilt

${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(p)\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+1))/(p)\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+1,p)\cong (\mathbb {Z} /(p)[X])/(X^{2}+1)\,.$

Dieser Restklassenring ist endlich und somit nach Aufgabe genau dann ein Körper, wenn es ein Integritätsbereich ist. Dies ist wiederum äquivalent dazu, dass ${}p$ prim in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ ist (man kann auch mit Fakt schließen). Andererseits zeigt die Darstellung rechts, dass ein Körper genau dann vorliegt, wenn das Polynom ${}X^{2}+1$ ein irreduzibles Polynom in ${}(\mathbb {Z} /(p))[X]$ ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn das Polynom keine Nullstelle in ${}\mathbb {Z} /(p)$ besitzen, was bedeutet, dass ${}-1$ kein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(p)$ ist.

Die Äquivalenz (4) ${}\Leftrightarrow$ (5) wurde schon im Fakt gezeigt.

$\Box$