Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/0

Angenommen $0$ besitzt eine Primfaktordarstellung:

$0=\prod _{r=1}^{k}{p_{r}}^{s_{r}}\,{\text{weil }}\mathbb {Z} {\text{ Integrationsbereich}}\Rightarrow \exists i\in \{1,...,k\}:p_{i}=0$

Aber $0$ ist per Def. keine Primzahl, also existiert keine solche Darstellung.