Geführte Bewegung/Funktionsgraph/Energieerhaltungssatz/Bemerkung

Die Formel aus Fakt, die die geführte Bewegung auf einem Funktionsgraphen im Gravitationsfeld beschreibt, kann man auch aus dem Energieerhaltungssatz ableiten. Die Energie des bewegten Teilchens setzt sich aus der Lageenergie und der Bewegungsenergie zusammen. Die Lageenergie ist dabei gleich ${}mgf(x(t))$, wobei ${}m$ die Masse des Teilchens ist (die Lageenergie wird also gleich ${}0$ bei der Höhe ${}0$ gesetzt) und die Bewegungsenergie ist ${}{\frac {1}{2}}m\Vert {h(t)}\Vert ^{2}$, wobei ${}h(t)$ die Gesamtbewegung auf dem Graphen beschreibt. Somit ist die Gesamtenergie gleich das ${}m$-fache von

${}{\begin{aligned}gf(x(t))+{\frac {1}{2}}\Vert {h(t)}\Vert ^{2}&=gf(x(t))+{\frac {1}{2}}{\sqrt {x'(t)^{2}+f'(x(t))^{2}x'(t)^{2}}}^{2}\\&=gf(x(t))+{\frac {1}{2}}x'(t)^{2}(1+f'(x(t))^{2}).\end{aligned}}$

Da diese Energie unabhängig von ${}t$ ist, muss die Ableitung davon gleich ${}0$ sein, also

${}{\begin{aligned}0&=gf'(x(t))x'(t)+x'(t)x^{\prime \prime }(t)+x'(t)x^{\prime \prime }(t)f'(x(t))^{2}+f'(x(t))f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{3}\\&=x'(t){\left(gf'(x(t))+x^{\prime \prime }(t)+x^{\prime \prime }(t)f'(x(t))^{2}+f'(x(t))f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{2}\right)}.\end{aligned}}$

Wir ignorieren die konstanten Lösungen und erhalten

${}gf'(x(t))+x^{\prime \prime }(t)+x^{\prime \prime }(t)f'(x(t))^{2}+f'(x(t))f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{2}=0\,.$

was auf

${}x^{\prime \prime }(t){\left(1+f'(x(t))^{2}\right)}=-gf'(x(t))-f'(x(t))f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{2}\,$

führt, also

${}x^{\prime \prime }(t)={\frac {-gf'(x(t))-f'(x(t))f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{2}}{1+f'(x(t))^{2}}}\,.$