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Geometrische Reihe/2 durch 5/Ab 3/Aufgabe/Lösung
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Geometrische Reihe/2 durch 5/Ab 3/Aufgabe
Mit der Formel für die geometrische Reihe ist
∑
n
=
0
∞
(
2
5
)
n
=
1
1
−
2
5
=
5
5
−
2
=
5
3
.
{\displaystyle {}\sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {2}{5}}\right)}^{n}={\frac {1}{1-{\frac {2}{5}}}}={\frac {5}{5-2}}={\frac {5}{3}}\,.}
Ferner ist
∑
n
=
0
2
(
2
5
)
n
=
1
+
2
5
+
(
2
5
)
2
=
25
+
10
+
4
25
=
39
25
.
{\displaystyle {}\sum _{n=0}^{2}{\left({\frac {2}{5}}\right)}^{n}=1+{\frac {2}{5}}+{\left({\frac {2}{5}}\right)}^{2}={\frac {25+10+4}{25}}={\frac {39}{25}}\,.}
Also ist insgesamt
∑
n
=
3
∞
(
2
5
)
n
=
5
3
−
39
25
=
125
−
117
75
=
8
75
.
{\displaystyle {}\sum _{n=3}^{\infty }{\left({\frac {2}{5}}\right)}^{n}={\frac {5}{3}}-{\frac {39}{25}}={\frac {125-117}{75}}={\frac {8}{75}}\,.}
Zur gelösten Aufgabe