Geordnete Menge/Extremalelemente/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge. Ein Element ${}x\in I$ heißt maximal (in ${}I$) oder ein maximales Element (von ${}I$), wenn es kein Element ${}y\in I$, ${}y\neq x$, mit ${}x\preccurlyeq y$ gibt.

Definition

Es sei ${}(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge. Ein Element ${}x\in I$ heißt minimal (in ${}I$) oder ein minimales Element (von ${}I$), wenn es kein Element ${}y\in I$, ${}y\neq x$, mit ${}y\preccurlyeq x$ gibt.

Definition

Es sei ${}(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge. Ein Element ${}x\in I$ heißt größtes Element von ${}I$, wenn ${}y\preccurlyeq x$ für jedes ${}y\in I$ gilt.

Definition

Es sei ${}(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge. Ein Element ${}x\in I$ heißt kleinstes Element von ${}I$, wenn ${}x\preccurlyeq y$ für jedes ${}y\in I$ gilt.

Definition

Es sei ${}(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge und ${}J\subseteq I$ eine Teilmenge. Ein Element ${}s\in I$ heißt obere Schranke für ${}J$, wenn ${}y\preccurlyeq s$ für jedes ${}y\in J$ gilt.

Definition

Es sei ${}(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge und ${}J\subseteq I$ eine Teilmenge. Ein Element ${}s\in I$ heißt untere Schranke für ${}J$, wenn ${}s\preccurlyeq x$ für jedes ${}x\in J$ gilt.

Definition

Es sei ${}(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge und ${}J\subseteq I$ eine Teilmenge. Ein Element ${}s\in I$ heißt Supremum von ${}J$, wenn ${}s$ die kleinste obere Schranke von ${}J$ ist.

Definition

Es sei ${}(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge und ${}J\subseteq I$ eine Teilmenge. Ein Element ${}s\in I$ heißt Infimum von ${}J$, wenn ${}s$ die größte untere Schranke von ${}J$ ist.