Geradenbüschel/Richtungsableitungen/Beispiel

Es sei ${}S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}$ der Einheitskreis und

$\psi \colon S^{1}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion mit der Eigenschaft

${}\psi (-P)=-\psi (P)\,.$

Mit dieser Funktion definieren wir

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

durch

$\varphi (x,y):={\begin{cases}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\cdot \psi {\left({\frac {(x,y)}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)}{\text{ für }}(x,y)\neq 0\,,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}$

Der Graph dieser Funktion besteht aus einem Büschel von Geraden durch den Nullpunkt. Insbesondere existieren im Nullpunkt sämtliche Richtungsableitungen. Da man aber ${}\psi$ willkürlich vorgeben kann, haben die Richtungsableitungen nichts miteinander zu tun.