Geschlitzte komplexe Zahlen/Weg von 0 nach 1/Log z - Log z-1/Beispiel

Wir betrachten die riemannsche Fläche ${}X={\mathbb {C} }\setminus [0,1]$, es wird also das reelle abgeschlossene Einheitsintervall aus den komplexen Zahlen herausgenommen. Der Funktion ${}\ln z-\ln \left(z-1\right)$ kann man auf ${}X$ eine sinnvolle Bedeutung zuordnen. Es sei ${}a\in X$ fixiert. Man setzt

${}h(z):=\int _{a}^{z}{\frac {1}{w}}dw-\int _{a}^{z}{\frac {1}{w-1}}dw\,.$

Dabei sind in den beiden Integralen die Integrationswege gleich zu wählen. Wenn man den Weg durch einen anderen Weg ersetzt, so ändern sich beide Wegintegrale um den gleichen Summanden, aber mit verschiedenem Vorzeichen, und die Summe bleibt gleich.