Gewöhnliche Differentialgleichung/Eindimensional/Polynomiale Lösung/1/Aufgabe/Lösung

Wir machen den Ansatz

${}y(t)=at^{3}+bt^{2}+ct+d\,.$

Die Differentialgleichung bedeutet dann

${}{\begin{aligned}{\left(at^{3}+bt^{2}+ct+d\right)}'&=3at^{2}+2bt+c\\&={\left(at^{3}+bt^{2}+ct+d\right)}t-2t^{4}+t^{3}+2t^{2}-5t+4\\&=at^{4}+bt^{3}+ct^{2}+dt-2t^{4}+t^{3}+2t^{2}-5t+4\\&=(a-2)t^{4}+(b+1)t^{3}+(c+2)t^{2}+(d-5)t+4.\end{aligned}}$

Koeffizientenvergleich ergibt direkt

${}a=2\,,$

${}b=-1\,$

und

${}c=4\,,$

woraus dann

${}d=3\,$

folgt. Daher ist ${}2t^{3}-t^{2}+4t+3$ eine Lösung.

Zur gelösten Aufgabe