Gewöhnliche Differentialgleichung/Exponentielles Wachstum/y' ist y/Beispiel

Wir betrachten die zeitliche Entwicklung einer Population, die durch folgende Eigenschaften charakterisiert ist.

1. Die Individuen der Population leben ewig.
2. Alle Individuen beteiligen sich ab ihrer Geburt mit gleichem (durchschnittlichen) Engagement und Erfolg an der Fortpflanzung.
3. Zeugung und Geburt finden gleichzeitig statt.
4. Der Fortpflanzungserfolg eines Individuums ist unabhängig von der Größe der Gesamtpopulation.

Unter diesen Bedingungen ist die Vermehrung, also der Zuwachs der Population, allein von der momentanen Populationsgröße abhängig und proportional zu dieser. Wenn man die Populationsentwicklung als ${}y(t)$ ansetzt, so erhält man eine gewöhnliche Differentialgleichung

${}y'(t)=cy(t)\,$

(oder kurz ${}y'=cy$) mit einer Konstanten ${}c\in \mathbb {R} _{+}$. Die Lösungsfunktionen sind

$\lambda e^{ct}$

(wobei im Populationsbeispiel ${}\lambda \in \mathbb {R} _{+}$ ist). Man spricht von exponentiellem Wachstum der Population, und zwar unabhängig davon, ob ${}c$ groß oder klein ist.