Gewöhnliche Differentialgleichung/y' ist y/Varianten/Lösungen/Beispiel

Wir betrachten die gewöhnliche Differentialgleichung ${}y'=y$, in der ${}t$ gar nicht explizit vorkommt (solche Differentialgleichungen nennt man zeitunabhängig). Durch diese Differentialgleichung werden Wachstumsprozesse beschrieben, bei denen beispielsweise der Zuwachs gleich der Bevölkerung ist. Gesucht ist also nach einer Funktion ${}y(t)$, die differenzierbar ist und die mit ihrer eigenen Ableitung übereinstimmt. Wir wissen bereits, dass die Exponentialfunktion ${}y(t)=e^{t}$ diese Eigenschaft besitzt. Ebenso ist jede Funktion ${}ae^{t}$ mit einem festen ${}a\in \mathbb {R}$ eine Lösungsfunktion.

Wenn der Zuwachs zur Bevölkerung proportional ist, so führt dies zur Differentialgleichung

${}y'=cy\,$

mit einer festen Zahl ${}c$. In diesem Fall sind ${}y(t)=ae^{ct}$ die Lösungen. Bei ${}c>0$ spricht man von exponentiellem Wachstum und bei ${}c<0$ von exponentiellem Verfall.