Gewöhnliches Differentialgleichungssystem/Hyperfläche/Lösung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir arbeiten mit der euklidischen Struktur auf dem und mit dem Gradienten zu . Dieser ist nach Voraussetzung auf nirgendwo gleich und dies überträgt sich wegen der Stetigkeit auf eine offene Umgebung von . Indem wir eventuell verkleinern, können wir annehmen, dass der Gradient auf ganz nullstellenfrei ist. Wir betrachten auf das neue Vektorfeld , das durch

gegeben ist. Für ist , da ja auf der Gradient zu senkrecht auf dem Vektorfeld steht. Ferner besitzt (im Unterschied zu ) die Eigenschaft, dass für alle Punkte der Vektor senkrecht zum Gradienten steht, es ist ja

Es sei nun

die nach Fakt eindeutige Lösung zum Anfangswertproblem zu mit der Anfangsbedingung . Dann ist

Daher ist auf dem Bild konstant und wegen ist für alle , also für alle .