Gewöhnliches Differentialgleichungssystem/Hyperfläche/Lösung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir arbeiten mit der euklidischen Struktur auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ und mit dem Gradienten ${}\operatorname {Grad} \,h$ zu ${}h$. Dieser ist nach Voraussetzung auf ${}Y$ nirgendwo gleich ${}0$ und dies überträgt sich wegen der Stetigkeit auf eine offene Umgebung von ${}Y$. Indem wir ${}U$ eventuell verkleinern, können wir annehmen, dass der Gradient auf ganz ${}U$ nullstellenfrei ist. Wir betrachten auf ${}U$ das neue Vektorfeld ${}G$, das durch

${}G(P)=F(P)-{\frac {\left\langle F(P),\operatorname {Grad} \,h(P)\right\rangle }{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert ^{2}}}\operatorname {Grad} \,h(P)\,$

gegeben ist. Für ${}P\in Y$ ist ${}G(P)=F(P)$, da ja auf ${}Y$ der Gradient zu ${}h$ senkrecht auf dem Vektorfeld steht. Ferner besitzt ${}G$ (im Unterschied zu ${}F$) die Eigenschaft, dass für alle Punkte ${}P\in U$ der Vektor ${}G(P)$ senkrecht zum Gradienten steht, es ist ja

${}{\begin{aligned}\left\langle G(P),\operatorname {Grad} \,h(P)\right\rangle &=\left\langle F(P)-{\frac {\left\langle F(P),\operatorname {Grad} \,h(P)\right\rangle }{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert ^{2}}}\operatorname {Grad} \,h(P),\operatorname {Grad} \,h(P)\right\rangle \\&=\left\langle F(P),\operatorname {Grad} \,h(P)\right\rangle -\left\langle F(P),\operatorname {Grad} \,h(P)\right\rangle \\&=0.\end{aligned}}$

Es sei nun

$v\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

die nach Fakt eindeutige Lösung zum Anfangswertproblem zu ${}G$ mit der Anfangsbedingung ${}v(t_{0})=P\in Y$. Dann ist

${}{\begin{aligned}\left(Dh\circ v\right)_{t}&=\left(Dh\right)_{v(t)}\circ \left(Dv\right)_{t}\\&=\left(Dh\right)_{v(t)}{\left(v'(t)\right)}\\&=\left(Dh\right)_{v(t)}{\left(G(v(t))\right)}\\&=\left\langle \operatorname {Grad} \,h(v(t)),G(v(t))\right\rangle \\&=0.\end{aligned}}$

Daher ist ${}h$ auf dem Bild ${}v(I)$ konstant und wegen ${}h(v(t_{0}))=c$ ist ${}h(v(t))=c$ für alle ${}t\in I$, also ${}v(t)\in Y$ für alle ${}t\in I$.

Zur bewiesenen Aussage