Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktion/Residuen/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}\Gamma =\langle v_{1},v_{2}\rangle$. Es sei ${}\gamma$ ein Weg, der den Rand von ${}P+{\mathfrak {M}}$ einfach gegen den Uhrzeigersinn durchläuft. Dann ist nach Fakt die Summe der Residuen gleich ${}{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }f(z)dz$. Der Weg ${}\gamma$ besteht aus den vier linearen Teilwegen von ${}P$ nach ${}P+v_{1}$, von ${}P+v_{1}$ nach ${}P+v_{1}+v_{2}$, von ${}P+v_{1}+v_{2}$ nach ${}P+v_{2}$ und von ${}P+v_{2}$ nach ${}P$. Da ${}f$ elliptisch ist, ist insbesondere ${}f(P+tv_{1})=f(P+tv_{1}+v_{2})$ und ${}f(P+v_{1}+sv_{2})=f(P+sv_{2})$. D.h. die Integranden auf den gegenüberliegenden Teilwegen stimmen überein. Da sie unterschiedlich orientiert durchlaufen werden, ist das Gesamtergebnis gleich ${}0$.

Zur bewiesenen Aussage