Gitter/Komplexe Zahlen/Streckung/Isogenie/Kernanzahl und Determinante/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt ist die Anzahl des Kernes der Isogenie gleich der Anzahl von ${}\Gamma /s\Gamma$. Es liegt ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}\Gamma &{\stackrel {s}{\longrightarrow }}&\Gamma &{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma /s\Gamma &\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\\mathbb {Z} ^{2}&{\stackrel {M}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} ^{2}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} ^{2}/\operatorname {bild} M&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

wobei die vertikalen Abbildungen Isomorphismen sind. Die Aussage folgt somit mit dem Betrag der Determinante aus Aufgabe. Es ist noch zu zeigen, dass die Determinante stets positiv ist. Es sei ${}s=r+t{\mathrm {i} }$ und ${}u,v$ eine Basis des Gitters. Nach Voraussetzung gilt

${}su=au+bv\,$

und

${}sv=cu+dv\,$

mit ${}a,b,c,d\in \mathbb {Z}$. Als Isomorphismus des reellen Vektorraumes ${}{\mathbb {C} }=\mathbb {R} ^{2}$ wird die Multiplikation mit ${}s$ einerseits bezüglich der Standardbasis ${}1,{\mathrm {i} }$ durch die reelle Matrix ${}{\begin{pmatrix}r&-t\\t&r\end{pmatrix}}$ mit der positiven Determinante ${}r^{2}+t^{2}$ und andererseits bezüglich der reellen Basis ${}u,v$ durch die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\,$

beschrieben, die somit auch eine positive Determinante besitzt.

Zur gelösten Aufgabe