Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Obere Halbebene/Fakt/Beweis

Beweis

Die Streckungsbedingung zusammen mit der Basisbeschreibung aus Fakt führt auf die Bedingung

${}{\begin{pmatrix}\tau _{2}\\1\end{pmatrix}}=s{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\tau _{1}\\1\end{pmatrix}}=s{\begin{pmatrix}a\tau _{1}+b\\c\tau _{1}+d\end{pmatrix}}\,$

mit ${}s\in {\mathbb {C} }^{\times }$ und ${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$. Daher muss

${}s={\frac {1}{c\tau _{1}+d}}\,$

sein und die Bedingung wird zu

${}\tau _{2}={\frac {a\tau _{1}+b}{c\tau _{1}+d}}\,.$

Es ist

${}{\frac {a\tau _{1}+b}{c\tau _{1}+d}}={\frac {(a\tau _{1}+b)(c{\overline {\tau _{1}}}+d)}{(c\tau _{1}+d)(c{\overline {\tau _{1}}}+d)}}\,.$

Der Nenner ist reell und positiv, der Zähler ist

${}{\begin{aligned}(a\tau _{1}+b)(c{\overline {\tau _{1}}}+d)&=ac\tau _{1}{\overline {\tau _{1}}}+bd+ad\tau _{1}+bc{\overline {\tau _{1}}}\\&=ac\tau _{1}{\overline {\tau _{1}}}+bd+(bc\pm 1)\tau _{1}+bc{\overline {\tau _{1}}}\\&=ac\tau _{1}{\overline {\tau _{1}}}+bd+bc{\left(\tau _{1}+{\overline {\tau _{1}}}\right)}\pm \tau _{1}.\end{aligned}}$

Hierbei sind die drei Summanden links reell. Somit gehört ${}{\frac {a\tau _{1}+b}{c\tau _{1}+d}}$ genau dann zu ${}{\mathbb {H} }$, wenn das Vorzeichen vor ${}\tau _{1}$ positiv ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn die Matrix die Determinante ${}1$ besitzt.

Zur bewiesenen Aussage