Gitter/Komplexe Zahlen/Tate-Modul/Aufgabe

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und ${}E={\mathbb {C} }/\Gamma$ der zugehörige komplexe Torus. Es sei ${}\ell$ eine Primzahl. Zeige, dass unter den natürlichen Identifizierungen

${}\Gamma /\ell ^{n}\Gamma \cong \operatorname {Tor} _{\ell ^{n}}{\left(E\right)}\,$

mit ${}[g]\mapsto {\frac {1}{\ell ^{n}}}[g]$ (vergleiche Aufgabe) die Diagramme

${\begin{matrix}\Gamma /\ell ^{n+1}\Gamma &{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma /\ell ^{n}\Gamma &\\\downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Tor} _{\ell ^{n+1}}{\left(E\right)}&{\stackrel {\cdot \ell }{\longrightarrow }}&\operatorname {Tor} _{\ell ^{n}}{\left(E\right)}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutieren, wobei oben die natürliche Restklassenabbildung zur Untergruppe ${}\ell ^{n+1}\Gamma \subseteq \ell ^{n}\Gamma$ steht. Man folgere, dass der Tate-Modul ${}T_{\ell }(E)$ kanonisch isomorph zu ${}\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }\Gamma /\ell ^{n}\Gamma$ ist.

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