Gleichheit von Variablen/Allversion/Ableitbarkeit/Aufgabe/Lösung

1. Nach der Allversion zu Axiom ist

   $\vdash \forall x{\left(\forall y{\left(x=y\right)}\right)}\rightarrow {\left(\forall y{\left(x=y\right)}\right)}{\frac {u}{x}}$

   eine Tautologie. Der Nachsatz ist ${}\forall y{\left(u=y\right)}$. Aus dem gleichen Grund ist

   $\vdash \forall y{\left(u=y\right)}\rightarrow {\left(u=y\right)}{\frac {v}{y}}$

   eine Tautologie. Der Nachsatz ist ${}u=v$. Mit Modus ponens gilt daher

   $\Gamma \vdash \forall y{\left(u=y\right)}$

   und

   $\Gamma \vdash u=v.$

2. Das bedeutet, dass die Grundmenge der Struktur einelementig sein muss, da alle Elemente gleich sind.
3. Um die Nichtableitbarkeit ${}\Delta \not \vdash u=v$ zu zeigen, genügt es aufgrund des Korrektheitssatzes, eine Interpretation ${}I$ mit ${}I\vDash \Delta$, aber ${}I\not \vDash u=v$ anzugeben. Dazu sei ${}M=\{a,b\}$ eine zweielementige Menge und die Variablenbelegung sei durch ${}I(x)=I(y)=I(u)=a$ und

   ${}I(v)=b\,$

   festgelegt.

Zur gelösten Aufgabe