Gleichschenkliges Dreieck/30 Grad/Flächeninhalt/Aufgabe/Lösung

1. Wir legen zwei Dreiecke der gegebenen Art an einem Schenkel nebeneinander. Es entsteht ein Viereck, das ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge ${}1$ enthält. Der mittlere Schenkel halbiert die zum Schenkelschnittpunkt gegenüberliegende Seite in zwei gleichlange Seiten der Länge ${}{\frac {1}{2}}$. Die Höhe des gleichseitigen Dreiecks ist daher

   ${}h={\sqrt {1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,.$

   Daher ist die Länge des Anteils des mittleren Schenekels, der über das gleichseitige Dreieck hinausragt, gleich

   ${}c=1-h={\frac {2-{\sqrt {3}}}{2}}\,.$

   Deshalb besitzt die Grundseite des gleichschenkligen Dreiecks die Länge

   ${}{\begin{aligned}g&={\sqrt {c^{2}+{\frac {1}{4}}}}\\&={\sqrt {\left({\frac {2-{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{4}}}}\\&={\frac {\sqrt {4+3-4{\sqrt {3}}+1}}{2}}\\&={\frac {\sqrt {8-4{\sqrt {3}}}}{2}}\\&={\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}.\end{aligned}}$

2. Der Flächeninhalt ist ${}{\frac {1}{4}}$, da die Konstruktion aus Teil (1) zeigt, dass die Höhe zu einem Schenkel gleich ${}{\frac {1}{2}}$ ist.

Zur gelösten Aufgabe