Gleichung/Umformungsprinzip/Fakt

Umformungsprinzip für Gleichungen

Es sei

${}f(x)=g(x)\,$

eine Gleichung in der Variablen ${}x$ über einem gegebenen Zahlenbereich ${}M$. Es sei

$\varphi \colon M\longrightarrow M$

eine Abbildung. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.

1. Wenn ${}a\in M$ eine Lösung der Gleichung ist, so ist ${}a$ auch eine Lösung der umgeformten Gleichung

   ${}\varphi (f(x))=\varphi (g(x))\,.$

2. Wenn ${}\varphi$ injektiv ist, so ist ${}a\in M$ genau dann eine Lösung der Gleichung, wenn ${}a$ eine Lösung der umgeformten Gleichung

   ${}\varphi (f(x))=\varphi (g(x))\,$

   ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen