Gradient/Kern von df/Orthogonal zu Gradient/Aufgabe/Kommentar

Auf den ersten Blick scheint dies vielleicht eine schwierige Beweisaufgabe zu sein. Aber wenn die Definitionen und Eigenschaften der beteiligten mathematischen Objekte klar sind, ist das ganze nur noch halb so wild.

Ein Vektor ${}v\in V$ soll zum Kern vom totalen Differntial ${}\left(Df\right)_{P}$ von ${}f$ im Punkt ${}P$ gehören. Das totale Differential ist eine lineare Abbildung von ${}V$ nach ${}\mathbb {R}$ und der Kern von ${}\left(Df\right)_{P}$ ist die Menge aller Elemente aus ${}V$ die durch ${}\left(Df\right)_{P}$ auf Null abgebildet werden.

${}\operatorname {Grad} \,f(P)$ ist der Gradient von ${}f$ im Punkt ${}P$ und hängt, wie wir gelernt haben, stark mit dem obigen totalen Differential zusammen. Er ist ein Vektor im Vektorraum ${}V$ und zwar genau der eindeutige Vektor, der es erlaubt, das totale Differential mit Hilfe des gewählten oder gegebenen Skalarproduktes auszudrücken. Das heißt es gilt

$\left(Df\right)_{P}(v)=\left\langle \operatorname {Grad} \,f(P),v\right\rangle$

für alle ${}v\in V$.

Mit Hilfe dieser Darstellung kann nun der Zusammenhang zwischen ${}v$ ist im Kern von ${}\left(Df\right)_{P}$ und der Orthogonalität zum Gradienten bezüglich des Skalarproduktes hergestellt werden.

Zur kommentierten Aufgabe