Gradientenfeld/Geschlossenes Wegintegral/Fakt

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und

$h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion mit dem zugehörigen Gradientenfeld ${}G=\operatorname {Grad} \,h$. Es sei ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ ein stetig differenzierbarer Weg mit ${}\gamma (a)=\gamma (b)$.

Dann ist

${}\int _{\gamma }G=0\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen