Gradientenfeld/x^2+y^2/Anfangswertproblem/Lösung/Aufgabe/Lösung

Das Gradientenfeld ist durch

$G\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}2x\\2y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

geben, es handelt sich also um ein lineares Vektorfeld. Da jeder Vektor ${}w\in \mathbb {R} ^{2}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}2$ zur Matrix ${}{\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}$ ist, sind die Lösungen durch

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto we^{2t}$

gegeben.

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