Graduierte Körpererweiterung/Q(3.sqrt(2), sqrt(-3))/Galois/Beispiel

Wir betrachten die ${}\mathbb {Z} /(6)$-graduierte Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq L=\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{2}},{\sqrt {-3}}]=\mathbb {Q} [{\sqrt[{6}]{-108}}]=\mathbb {Q} [X]/(X^{6}+108)\,.$

Die Graduierung ist durch ${}L_{i}=\mathbb {Q} \cdot x^{i}$ mit ${}x={\sqrt[{6}]{-108}}={\sqrt[{3}]{2}}\cdot {\sqrt {-3}}$ gegeben. Es ist ${}{\sqrt {-3}}=-{\frac {1}{6}}x^{3}$ und ${}{\sqrt[{3}]{2}}={\frac {1}{18}}x^{4}$. Da es in ${}\mathbb {Q}$ keine primitive dritte Einheitswurzel gibt, ist ${}\operatorname {Char} \,(\mathbb {Z} /(6),\mathbb {Q} ^{\times })\cong \mathbb {Z} /(2)$ und daher gibt es nur zwei homogene Automorphismen (somit ist dies auch keine Kummererweiterung). Dennoch handelt es sich um eine Galoiserweiterung. Zunächst gehört

${}\zeta _{3}={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}={\frac {-6-x^{3}}{12}}\,$

zu ${}L$ und es ist ${}\mathbb {Q} (\zeta _{3})=\mathbb {Q} ({\sqrt {-3}})=L_{0}\oplus L_{3}$. Ein weiterer (mit der Graduierung verträglicher) Zwischenkörper ist ${}\mathbb {Q} {\left({\sqrt[{3}]{2}}\right)}=L_{0}\oplus L_{2}\oplus L_{4}$. Die durch ${}x^{i}\mapsto (-1)^{i}x^{i}$ gegebene Abbildung ist ein homogener Automorphismus ${}\varphi$ mit ${}\varphi ^{2}=\operatorname {Id}$. Aber auch die Zuordnung ${}x^{i}\mapsto (\zeta _{3})^{i}x^{i}$ definiert einen (nicht-homogenen) Automorphismus ${}\psi$ mit ${}\psi ^{3}=\operatorname {Id}$. Es gibt also insgesamt ${}6$ Automorphismen und daher liegt eine Galoiserweiterung vor. Dabei ist

${}(\varphi \circ \psi )(x)=\varphi (\psi (x))=\varphi {\left(\zeta _{3}x\right)}=\varphi {\left({\frac {-6x-x^{4}}{12}}\right)}={\frac {6x-x^{4}}{12}}\,$

und

${}(\psi \circ \varphi )(x)=\psi (\varphi (x))=\psi (-x)=-\psi (x)=-{\frac {-6x-x^{4}}{12}}={\frac {6x+x^{4}}{12}}\,.$

Daher ist die Galoisgruppe nicht kommutativ, und es muss ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}\mathbb {Q} )=S_{3}$ sein. Der Körper ${}\psi {\left(\mathbb {Q} {\left({\sqrt[{3}]{2}}\right)}\right)}$ ist ein nichthomogener Zwischenkörper.