Graduierte Körpererweiterung/Vierte Wurzel 7 mal i/Aufgabe

Wir betrachten die Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{7}}{\mathrm {i} }]=L\,.$

1. Bestimme das Minimalpolynom von ${}{\sqrt[{4}]{7}}{\mathrm {i} }$.
2. Zeige, dass der Grad der Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ gleich ${}4$ ist.
3. Finde einen echten Zwischenkörper

   ${}\mathbb {Q} \subset M\subset L\,.$

4. Zeige, dass ${}L$ eine ${}\mathbb {Z} /(4)$-graduierte Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$ ist.
5. Zeige, dass ${}L[{\mathrm {i} }]=\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{7}},{\mathrm {i} }]$ eine ${}\mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(2)$- graduierte Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$ ist. Durch welche Untergruppe von ${}\mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(2)$ wird ${}L$ beschrieben?

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