Graduierte Körpererweiterung/Zyklische Gruppe/Matrixdarstellung der Automorphismen/Aufgabe/Lösung

Die Automorphismen auf ${}L$ entsprechen den Charakteren auf ${}D=\mathbb {Z} /(n)$. Diese entsprechen wiederum eindeutig dem Bild der ${}1$, welches eine ${}n$-te Einheitswurzel sein muss, also sich mittels der gegebenen primitiven Einheitswurzel als ${}\zeta ^{i}$ mit einem eindeutigen ${}i$ zwischen ${}0$ und ${}n-1$ schreiben lässt. Es sei ${}x\in L_{1}$ ein von ${}0$ verschiedenes Element der ersten Stufe. Dann bilden die ${}x^{d}$, ${}0\leq d\leq n-1$, eine ${}K$-Basis von ${}L$. Der zu einem Charakter ${}\chi$ gehörende Automorphismus wirkt dabei in der ${}d$-ten Stufe durch Multiplikation mit ${}\chi (d)$. Daher besitzt der Automorphismus zum Charakter ${}\chi$ mit ${}\chi (1)=\zeta ^{i}$ bzgl. dieser Basis die Matrixdarstellung

${\begin{pmatrix}\zeta ^{0}&0&\ldots &\ldots &0\\0&\zeta ^{i}&0&\ldots &0\\0&0&\zeta ^{2i}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &0&\zeta ^{i(n-1)}\end{pmatrix}}.$

Zur gelösten Aufgabe