Graduierter Ring/Homogenes Primideal/Lokalisierung/Nullte Stufe/Fakt/Beweis

Beweis

Seien ${}r,s\in R_{({\mathfrak {p}})}$ Nichteinheiten. Dann ist ${}r={\frac {a}{f}}$ und ${}s={\frac {b}{g}}$ mit homogenen Elementen ${}f,g\notin {\mathfrak {p}}$ und homogenen Elementen ${}a,b\in R$, die jeweils den gleichen Grad wie ihre Nenner haben. Dabei ist ${}a,b\in {\mathfrak {p}}$, da andernfalls eine Einheit vorliegen würde. Daher ist ${}ag+bf\in {\mathfrak {p}}$ und somit ist

${}{\frac {a}{f}}+{\frac {b}{g}}={\frac {ag+bf}{fg}}\,$

ebenfalls eine Nichteinheit in ${}R_{({\mathfrak {p}})}$.

Zur bewiesenen Aussage